9/16 作业

Homework 3

1. (1) $\begin{pmatrix}25 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 25 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 4 & 1\end{pmatrix}$ .

   (2) $\begin{pmatrix}{{a}^{4}} & 4 {{a}^{3}} & 6 {{a}^{2}}\\ 0 & {{a}^{4}} & 4 {{a}^{3}}\\ 0 & 0 & {{a}^{4}}\end{pmatrix}$ .

2. $\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\\ 3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}$ .

3. (1) False.

   (2) True.

   (3) False.

4. $PQ = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ .

   $QP = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ .

   $P^2 = \mathbf{1}_3$ .

5. $E=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ \mathop{-}1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & \mathop{-}1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \mathop{-}1 & 1\end{pmatrix}$ .

   $F = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ \mathop{-}1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & \mathop{-}2 & 1 & 0\\ \mathop{-}1 & 3 & \mathop{-}3 & 1\end{pmatrix}$ .

6. $M=ABAAB$ .

Optional

1. (1) $M_{n \times n}$ , $M_{i,j}=\delta_{i,j-m}$ , 其中 $\delta$ 是 Kronecker 函数。

   (2) $M_{n \times n}$ , $M_{i,j}={m \choose j-i}a^{m-j+i}$ .

   (3) $\left( \begin{matrix} \cos m \theta & -\sin m \theta \\ \sin m \theta & \cos m \theta \end{matrix} \right)$ .

2. 证明

   由 $AB=BA$ , 展开矩阵乘法

   $$A_{i,*} \cdot B_{*,j} = B_{i,*} \cdot A_{*,j}$$

   展开 $A$ 的定义

   $$(0, \cdots, d_i, \cdots, 0) \cdot B_{*,j} = (0, \cdots, d_j, \cdots, 0) \cdot B_{i,*}$$

   展开内积

   $$d_i B_{i,j} = d_j B_{i,j}$$

   当 $i \ne j$ 时，由题，$d_i \ne d_j$ , 则 $B_{i,j} = 0$ .

   $B_{i,j} = 0 \space \forall i \ne j$ , 则 $B$ 是对角矩阵 $\square$ .

3. 证明

   由 $AB=BA$ , 展开矩阵乘法

   $$A_{i,*} \cdot B_{*,j} = B_{i,*} \cdot A_{*,j}$$

   展开内积

   $$\begin{equation} \sum_{k=1}^{n} A_{i,k} B_{k,j} = \sum_{k=1}^n B_{i,k} A_{k,j} \end{equation}$$

   由于 $B$ 是任意矩阵，对于任意 $x,y : \N, 1 \le x,y \le n$ , 令

   $$B'_{i,j} = \begin{cases} 1 & (x,y) = (i,j) \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

   并对于任意 $x,y$

   • 考虑 $(AB')_{x,y}$ .

     由 (1) , 展开 $B'$ 的定义

     $$A_{x,x} = A_{y,y}$$

     由于 $x,y$ 任意选取，这表明对角线上的所有元素相等。

   • 考虑 $(AB')_{x,v}$ , 其中 $v \ne y$ .

     由 (1) , 展开 $B'$ 的定义

     $$A_{y,v} = 0$$

     由于 $y,v$ 任意选取，这表明对于任意 $y \ne v$ , $A_{y,v} \ne 0$ .

     即 $A$ 是对角矩阵。

   既然，$A$ 可以表示成 $c \mathbf 1_{n}$ , 其中 $c$ 是 $A$ 相等的对角线元素 $\square$ .

4. 证明

   $$\begin{align*} (AB-BA)^\mathrm T \\ & = (AB)^\mathrm T - (BA)^\mathrm T \\ & = B^\mathrm T A^\mathrm T - A^\mathrm T B^\mathrm T \\ & = (-B)(-A) - (-A)(-B) \\ & = - (AB - BA) \end{align*}$$

   $\square$ .